Минорный ранг матрицы

**Рангом по минорам** называется размер наибольшего ненулевого минора

Если строки минора линейно зависимы, то минор равен нулю. Очевидное следствие: если минор ненулевой, то его строки линейно независимы.

Пусть $a_1, a_2, \ldots, a_k$ — строки минора, и они линейно зависимы: $$ \lambda_{1}a_1 + \lambda_2 a_2 + \ldots + \lambda_k a_k = 0 $$ Если сложить строки определителя с такими коэффициентами, то одна из строк станет нулевой, а значит минор равен нулю. $\square$

Ранг матрицы по минорам $r_M(A)$ равен ее рангу по строкам $r_{\text{стр}}(A)$: $$ r_M(A) = r_{\text{стр}}(A) $$

Если $A$ — нулевая матрица, то $r_M(A) = r_{\text{стр}}(A) = 0$. Тогда пусть $A \neq 0$ **Докажем** $r_M(A) \geq r_{\text{стр}}(A)$. Пусть $k = r_{\text{стр}}(A) > 0$. Тогда существуют такие $k$ линейно независимых строк, что в подматрице, образованной этими $k$ строками, должен существовать ненулевой минор порядка $k$ (иначе по лемме эти строки были бы линейно зависимы). Следовательно, $r_M(A) \geq k$. **Докажем** $r_M(A) \leq r_{\text{стр}}(A)$. Пусть $k = r_M(A) > 0$. Тогда по определению существует ненулевой минор порядка $k$. Строки матрицы $A$, соответствующие строкам этого минора, линейно независимы (по лемме). Следовательно, $r_{\text{стр}}(A) \geq k$. Из (1) и (2) следует $r_M(A) = r_{\text{стр}}(A)$. $\square$